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Mathematica als Taschenrechner

Man kann im Dialog elementare Rechnungen wie im Taschenrechner ausführen lassen.

Ein Beispiel: durch [SHIFT]-[RETURN] erhält man das Ergebnis.

Mathematica kann automatisch beliebig große Zahlen (mit den üblichen Einschränkungen durch Speicherpatz und Rechengeschwindigkeit) berechnen .

18815250448759004797747440398770460753278965824274520564699796772813240860593715176907610212 ... 455072863886866361465162101062196720299016151483118251038883996011300645825474625761742043131249

Unter Verwendung der "palettes" kann die mathematische Standardbezeichnung verwendet werden.

18815250448759004797747440398770460753278965824274520564699796772813240860593715176907610212 ... 455072863886866361465162101062196720299016151483118251038883996011300645825474625761742043131249

Mathematica kann die Eigenwerte einer Matrix berechnen.

${3/2 (5 + 29^(1/2)), 3/2 (5 - 29^(1/2)), 0}$

Es können Eigenwerte und Eigenfunktionen berechnet werden.

${{1/2 (15 + 3 29^(1/2)), 1/2 (15 - 3 29^(1/2)), 0}, {{-1/23 + 1/46 (15 + 3 29^(1/2)), -25/23 ... 9^(1/2)), 1}, {-1/23 + 1/46 (15 - 3 29^(1/2)), -25/23 + 1/23 (15 - 3 29^(1/2)), 1}, {1, -2, 1}}}$

Eine wichtige Eigenschaft von Mathematica ist es, mit Zahlen und mit Formeln rechnen zu können ("Formelmanipulation").

Mit Mathematica kann man parameterabhängig eine Gleichung lösen.

${{x1/8 (1 + 4 a - (1 + 8 a - 8 b)^(1/2) - 4 b)}, {x1/8 (1 + 4 a + (1 + 8 a - 8 b)^(1/2) - 4 b)}}$

Es kann können mit Mathematica unbestimmte Integrale gelöst werden (innerhalb der behandelbaren Funktionsklasse), wobei eine gewisse Vorsicht in der Überprüfung der der Ergebnisse angemessen ist.

(x^(1/2) (a + 1/x + x)^(1/2) (2 (a + 2 x) (1 + a x + x^2)^(1/2) - (-4 + a^2) Log[a + 2 (x + (1 + a x + x^2)^(1/2))]))/(8 (1 + a x + x^2)^(1/2))

Mit Mathematica können 2D und 3D Grafiken erzeugt werden.

Ein 2D-Plot einer Funktion:

[Graphics:HTMLFiles/index_16.gif]

Ein 3D-Plot einer Funktion in x und y, die Option "PlotPoints→30" spezifiziert die Auflösung. .

$Plot3D[Sin[x y^3], {x, 0, 2.5}, {y, 0, 2.5}, PlotPoints30]$

[Graphics:HTMLFiles/index_19.gif]

Umfangreichere Berechnungen

Über die Taschenrechner-Funktionalität hinaus lassen sich umfangreichere Berechnungen in kurzer Notation durchführen.

Erzeugung einer 200×200 - Matrix aus Zufallszahlen. Mit dem Semikolon am Ende wird die Ausgabe (aus Platzgründen) unterdrückt.

Berechnung und grafische Darstellung aller Eigenwerte der Zufallsmatrix (Auf aktuellen PC Rechnezeit im Sekundenbereich).

[Graphics:HTMLFiles/index_23.gif]

Mathematica kann große Zahlen behandeln, hier die Fakultät von 500.

12201368259911100687012387854230469262535743428031928421924135883858453731538819976054964475 ... 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Mathematica kann numerische Berechnungen mit vorgegebener Präzision durchführen, z.B. die Berechnung von pi auf 1000 Stellen.

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825 ... 253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420199

Mathematica kann Polynome faktorisieren:

Mathematica kann Ausdrücke vereinfachen, wobei es unterschiedliche Sichtweisen geben kann, was "einfach" ist. Gegebenenfalls muß die gewünschte Form näher spezifiziert werden. Das Zeichen % steht für den vorangegangenen Ausdruck.

Algorithmen in Mathematica

Mathematica enthält eine umfangreiche Sammlung an Algotithmen.

Mathematica kann Nullstellen und Integrale numerisch berechnen.

{{x -2.41729}, {x -0.837507}, {x -0.454967}, {x1.42646}, {x2.28331}}

Mathematica enthält state-of-the-art-Algorithmen zur Faktorisierung von natürlichen Zahlen. Als Ergebnis erhält man eine Liste von Faktoren und Exponenten.

{{3, 1}, {11, 2}, {23, 1}, {31, 1}, {89, 1}, {683, 1}, {881, 1}, {2971, 1}, {3191, 1}, {201961, 1}, {48912491, 1}}

Erzeungung einer 2D - Tabelle:

$m = Table[3^i + x^j, {i, 3}, {j, 4}]$

${{3 + x, 3 + x^2, 3 + x^3, 3 + x^4}, {9 + x, 9 + x^2, 9 + x^3, 9 + x^4}, {27 + x, 27 + x^2, 27 + x^3, 27 + x^4}}$

Anzeige in Matrix-Form:

$( {{3 + x, 3 + x^2, 3 + x^3, 3 + x^4}, {9 + x, 9 + x^2, 9 + x^3, 9 + x^4}, {27 + x, 27 + x^2, 27 + x^3, 27 + x^4}} )$

Berechnung des Nullraumes einer Matrix:

${{x + x^2, -1 - x - x^2, 0, 1}, {x, -1 - x, 1, 0}}$

Mathematica kann Differentialgleichungen numerisch und symbolisch (innerhalb bestimmter Funktionsklassen) lösen.

Hier löst Mathematica eine nichtlineare Differentialgleichung numerisch. Das Ergebnis liegt in Form einer Interpolationsfunktion ("interpolating function") vor.

$NDSolve[{x ' '[t] + 2 x[t]^3 == Sin[t], x[0] == x '[0] == 0}, <br /> ... bsp; x, {t, 0, 50}]$

Das Ergebnis kann dann grafisch dargestellt werden. Durch /. wird die berechnete Lösung eingesetzt.

[Graphics:HTMLFiles/index_50.gif]

Weitere Berechnungen

Mathematica kann Eigenwerte auch parameterabhängig berechnen.

${1/2 (3 + b - (25 - 6 b + b^2)^(1/2)), 1/2 (3 + b + (25 - 6 b + b^2)^(1/2))}$

Die Mathematica-Ausgaben könen als Eingaben für weitere Berechnungen verwendet werden.

2D-Darstellung der parameterabhängigen Eigenwerte.

[Graphics:HTMLFiles/index_55.gif]

Nullstellenberechnung dazu:

Parameterabhängige Potenzreihendarstellung von Funktionen:

Sin[b]/x + Cos[b] - 1/2 Sin[b] x - 1/6 Cos[b] x^2 + 1/24 Sin[b] x^3 + 1/120 Cos[b] x^4 - 1/7 ... in[b] x^7)/40320 + (Cos[b] x^8)/362880 - (Sin[b] x^9)/3628800 - (Cos[b] x^10)/39916800 + O[x]^11

Prinzahlen und Kurvenanpassungen.

Liste der ersten 100 Prinzahlen.

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, ... , 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541}

Kurvenanpassung zu den Primzahlen:

$Fit[%, {Log[x], x, x^2}, x]$

Addition der angpaßten Funktionswerte:

Zum Vergleich die Originalwerte:

Darstellung der Differenzen zwischen Summen der Originalwerte und Summe der angepaßten Werte bis 100:

$ListPlot[Table[Sum[Evaluate[Fit[Table[Prime[i], {i, imax}], {Log[x], x, x^2}, x], {x, imax}]] - Underoverscript[∑, i = 1, arg3] Prime[i], {imax, 2, 100}], PlotJoinedTrue]$

[Graphics:HTMLFiles/index_70.gif]

Umwandlung von Ausdrücken.

Komplexere Ausdrücke können in verschiedenen Frmen dargestellt werden. Mathematica bietet eine Reihe von Funktionalitäten zur Konvertierung.

Ein gegebener Ausdruck, der umgeformt werden soll:

e = (x - 1)^3 (2 + x) / ((1 + x) (x - 3)^3)

Zerlegung in eine Summe, wobei Zähler und Nenner gekürzt werden, der verbleibende Ausdruck im Nenner nicht ausmultipziert ist:

Expand[e]

-2/((-3 + x)^3 (1 + x)) + (5 x)/((-3 + x)^3 (1 + x)) - (3 x^2)/((-3 + x)^3 (1 + x)) - x^3/((-3 + x)^3 (1 + x)) + x^4/((-3 + x)^3 (1 + x))

ExpandAll multipliziert zusätzlich den Nenner aus.

ExpandAll[e]

-2/(-27 + 18 x^2 - 8 x^3 + x^4) + (5 x)/(-27 + 18 x^2 - 8 x^3 + x^4) - (3 x^2)/(-27 + 18 x^2 - 8 x^3 + x^4) - x^3/(-27 + 18 x^2 - 8 x^3 + x^4) + x^4/(-27 + 18 x^2 - 8 x^3 + x^4)